Exercícios sobre equação da circunferência

Lista de exercícios do ensino médio para impressão

(ITA - 2004) Sejam os pontos $\phantom{X} A: \; (2;\, 0)\, $, $\;B:\;(4;\, 0)\;$ e $\;P:\;(3;\, 5 + 2\sqrt{2})\,$.

Determine a equação da cirunferência $\;C\;$, cujo centro está situado no primeiro quadrante, passa pelos pontos $\;A\;$ e $\;B\;$ e é tangente ao eixo $\;y\;$.

Determine as equações das retas tangentes à circunferência $\;C\;$ que passam pelo ponto $\;P\;$.

resposta:

Resolução:

Seja $\; O \; $ o centro da circunferência $\;C\;$ no primeiro quadrante. Na figura, $\;C\;$ passa pelos pontos $\;A\;$ e $\;B\;$, tangenciando o eixo $\;y\;$.
$\;O\;$ possui coordenadas (3,m) e $\;\overline{OA}\;$ é raio da circunferência, portanto $\;\overline{OA}\;$ mede 3.
$\;(\overline{OA})^2 = (3 - 2)^2 + (m - 0)^2 \; \Rightarrow \;$ $\; \sqrt{1 + m^2} = 3 \;\Rightarrow \;$ $\; m^2 = 8 \; \Rightarrow \; m = 2\sqrt{2}$.
O ponto $\;\; O \;\;$, centro da circunferência $\;C\;$, tem coordenadas $\;(3, 2\sqrt{2})\;$, e

a equação da circunferência é $\;\boxed{\;(x - 3)^2 + (y - 2\sqrt{2})^2 = 9\;} $

A equação do feixe de retas não verticais concorrentes em $\;P\;$, e coeficiente angular $\;a\;$ : $\; y - (5 + 2\sqrt{2})\;=\;$ $\;a(x - 3) \; \Rightarrow \; ax - y + 5 + 2 \sqrt{2} - 3a = 0\;$. A reta vertical que contém $\;P(3,\;5 + 2\sqrt{2})\;$ corta a circunferência $\;C\;$ em 2 pontos. A distância entre as tangentes e o centro $\;O (3;\; 2\sqrt{2})\;$ é igual a 3, ou seja:

$\;\dfrac{|3a\,-\,2\sqrt{2}\,+\,5\,+\,2\sqrt{2}\,-\,3a|}{\sqrt{a^2\,+\,1}}\,=\,3 \;\Rightarrow$ $\; \dfrac{5}{a^2\,+\,1}\,=\,3 \;\Rightarrow $ $\; a\;=\;\dfrac{4}{3}$ ou $\;a = -\, \dfrac{4}{3}$.

As equações das tangentes são:
$\;\boxed{\; y\,-\,(5\,+\,2\sqrt{2})\,=\,\dfrac{4}{3}(x\,-\,3)}\;$ e $\;\boxed{\; y\,-\,(5\,+\,2\sqrt{2})\,=\, -\, \dfrac{4}{3}(x - 3)}\;$

Determine a equação da circunferência cujo centro coincide com a origem do sistema cartesiano e cujo raio mede 3 unidades.

resposta:

circunferência de raio 3 e centro 0-0 no plano cartesiano

Resolução:
A equação da circunferência de centro $\;C\,(a\,,\,b)\;$ e raio $\,R\,$ é:
$\,(x\,-\,a)^2\,+\,(y\,-\,b)^2\,=\,R^2\;$.
Como $\;C\,(0\,,\,0)\;$ e $\;R\,=\,3\;$, temos:
$\,(x\,-\,0)^2\,+\,(y\,-\,0)^2\,=\,3^2\;\Rightarrow$ $\; \;x^2\,+\,y^2\,-\,9\,=\,0\;$

$\phantom{X}\boxed{\;x^2\,+\,y^2\,-\,9\,=\,0\;} \phantom{X}$

Determinar a equação da circunferência de centro C (2 , -3) e raio R = 5 unidades.

resposta:

circunferência de raio três e centro dois e menos três

Resolução:

A equação da circunferência de centro C (a , b) e raio R é:
$\;(x\,-\,a)^2\,+\,(y\,-\,b)^2\,=\,R^2\; \;$.
Como C (2 , -3) e R = 5 , temos então:
$(x\,-\,2)^2\,+\,[y\,-\,(-3)]^2\,=\,(5)^2\;\Rightarrow$
$\Rightarrow\;(x\,-\,2)^2\,+\,(y\,+\,3)^1\,=\,5^2\;\;\Rightarrow$
$\Rightarrow \phantom{X}\;x^2\,+\,y^2\,-\,4x\,+\,6y\,-\,12\,=\,0\;$

$\; \phantom{X}\boxed{\;x^2\,+\,y^2\,-\,4x\,+\,6y\,-\,12\,=\,0\;}$

Determinar a equação geral (ou normal) da circunferência de centro C (-1 , -3) e raio r = 4 .

resposta: Resolução:

$\,(x\,-\,a)^2\,+\,(y\,-\,b)^2\,=\,r^2\;\Rightarrow [x\,-\,(-1)]^2\,+\,[y\,-\,(-3)]^2\,=\,4^2\;\Rightarrow \;$

$\,\Rightarrow (x\,+\,1)^2\,+\,(y\,+\,3)^2\,=\,16\,$.

Desenvolvendo os quadrados das somas:

$\,x^2\,+\,2x\,+\,1\,+\,y^2\,+\,6y\,+\,9\,=\,16\;\Rightarrow$

$\,\Rightarrow \boxed{\;x^2\,+\,y^2\,+\,2x\,+\,6y\,-\,6\,=\,0\;}\,$

Resposta: $\;\boxed{\;x^2\,+\,y^2\,+\,2x\,+\,6y\,-\,6\,=\,0\;}\,$

Determinar a equação da circunferência que tem um diâmetro determinado pelos pontos A (5 , -1) e B (-3 , 7) .

resposta:

Resolução:

O segmento $\,\overline{AB}\,$ é um diâmetro da circunferência, então o centro da circunferência é o ponto médio de $\,\overline{AB}\,$:

$\left\{\begin{array}{rcr} A(5\, ,\,-1) \phantom{X}& \\ B(-3\,,\,7) \phantom{X}& \\ \end{array} \right. \;$ $\Rightarrow \;C\,\left( \frac{5 - 3}{2}\,;\,\frac{-1+7}{2} \right)\;\Rightarrow\;C\,(1\,;\,3)$

O raio da circunferência é obtido através da distância AC ou da distância BC.

$\,r\,=\,|AC|\,=$ $\,{\large\,\sqrt{(5\,-\,1)^2\,+\,(-1\,-\,3)^2}}\,=\,\sqrt{32}\,$

A equação da circunferência de raio $\,\sqrt{32}\,$ e centro $\,C\,(1 ; 3)\,$ é:

$\,(x\,-\,1)^2\,+\,(y\,-\,3)^2\,=\,32\;\Rightarrow$ $\;x^2\,+\,y^2\,-\,2x\,-\,6y\,-\,22\,=\,0\,$

Resposta:

$\,\boxed{\;x^2\,+\,y^2\,-\,2x\,-\,6y\,-\,22\,=\,0\;}\,$

Determinar a equação da circunferência que passa pela origem do sistema cartesiano e cujo centro é o ponto de coordenadas (4 , -3) .

resposta:

Resolução:

O raio da circunferência é a distância do centro até a origem:

$R\,=\,d_{CO}\,=$ $\,{\large\,\sqrt{(x_C\,-\,x_O)^2\,+\,(y_C\,-\,y_O)^2}}$

$R\,=\,{\large\,\sqrt{(4\,-\,0)^2\,+\,(-3\,-\,0)^2}}\;\Rightarrow\;$

$R\,=\,\sqrt{16\,+\,9}\;\Rightarrow\;R\,=\,5$

A equação da circunferência de centro $\;C\,(a\,,\,b)\;$ e raio $\,R\,$ é:

$(x\,-\,a)^2\,+\,(y\,-\,b)^2\,=\,R^2\,$

Sabemos que o centro é $\;C\,(4\,,\,-3)\;$ e raio $\,R\,=\,5\,$. Temos então:

$(x\,-\,4)^2\,+\,[y\,-\,(-3)]^2\,=\,(5)^2\;\Rightarrow$ $\;(x\,-\,4)^2\,+\,(y\,+\,3)^2\,=\,5^2\;\Rightarrow$

$\;\boxed{\;x^2\,+\,y^2\,-\,8x\,+\,6y\,=\,0\;}$

Determinar as coordenadas do centro e o raio de cada uma das circunferências abaixo:

$\;(x\,-\,5)^2\,+\,(y\,-\,7)^2\,=\,64\,$

$\;x^2\,+\,y^2\,-\,12x\,+\,16y\,-\,1\,=\,0\,$

resposta: a)

Resolução:

$\;(x\,-\,5)^2\,+\,(y\,-\,7)^2\,=\,64\,$

A equação reduzida da circunferência de centro C(a,b) e raio R:

$(x\,-\,a)^2\,+\,(y\,-\,b)^2\,=\,R^2\;$, e temos que

$(x\,-\,5)^2\,+\,(y\,-\,7)^2\,=\,64\;\Rightarrow$ $\boxed{\;C\,(5\,,\,7)\;}$ e

$R^2\,=\,64\;\Rightarrow\;\boxed{\;R\,=\,8\;}$

$\boxed{\;C\,(5\,,\,7)\;\text{ e }\;R\,=\,8\;}$
b)

Resolução:

$\;x^2\,+\,y^2\,-\,12x\,+\,16y\,-\,1\,=\,0\,$

A equação geral da circunferência de centro (a,b) e raio R:

$x^2\,+\,y^2\,+\,mx\,+\,ny\,+\,p\,=\,0\,$. Então

$\left.\begin{array}{rcr}\,a\,=\,-{\large \frac{m}{2}}\;\Rightarrow\;a\,=\,-{\large \frac{(-12)}{2}}\;\Rightarrow\;a\,=\,6 \;& \\ \,b\,=\,-{\large \frac{n}{2}}\;\Rightarrow\;b\,=\,-{\large \frac{(+16)}{2}}\;\Rightarrow\;b\,=\,-8 & \\ \end{array} \right\}$ $\;\Rightarrow \; \boxed{\;C\,(6\,,\,-8) \;}$

$p\,=\,a^2\,+\,b^2\,-\,R^2\;\Rightarrow $ $\;-1\,=\,6^2\,+\,(-8)^2\,-\,R^2\;\Rightarrow$ $\;R^2\,=\,101\;\Rightarrow\;\boxed{\;R\,=\,\sqrt{101}\;}$

$\;\boxed{\;C\,(6\,,\,-8)\;\text{ e }\;R\,=\,\sqrt{101}\;}$
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Determinar a equação da circunferência que passa pelo ponto A (-1 , 6) e tangencia o eixo dos "y" no ponto B (0 , 3) .

resposta:

Resolução:

Sendo o centro da circunferência
o ponto C (x , 3) conforme a figura:

circunferência tangente ao ponto zero três no plano cartesiano

Sendo $\;\overline{CA}\;$ e $\;\overline{CB}\;$ raios da mesma circunferência,
são segmentos de medidas iguais:

$ \overline{CA}\,=\overline{CB}\,$
$\;\sqrt{ (x\,+\,1)^{\large 2}\,+\,(3\,-\,6)^{\large 2}} \,= $ $\,\sqrt{ (x\,-\,0)^{\large 2}\,+\,(3\,-\,3)^{\large 2} } $

Elevando ao quadrado, simplificando, temos:

$(x\,+\,1)^{\large 2}\,+\,9\,=\,x^{\large 2}\;\Rightarrow\;$ $x\,=\,-5\,$

Então o centro é $\,C\,(-5\,,\,3)\,$ e o raio é $\,\overline{BC}\,=\,5$

e a equação da circunferência:

$\,(x\,+\,5)^2\,+\,(y\,-\,3)^2\,=\,5^2\;\Rightarrow\;$ $\;x^2\,+\,y^2\,+\,10x\,-\,6y\,+\,9\,=\,0\,$

Resposta:

$\,\boxed{\;x^2\,+\,y^2\,+\,10x\,-\,6y\,+\,9\,=\,0\;}\,$
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(ITA - 1990) Seja $\;C\;$ o centro da circunferência $\;x^2\,+\,y^2\,-\,6\sqrt{2}y\,=\,0\;$. Considere $\,A\,$ e $\,B\,$ os pontos de intersecção desta circunferência com a reta $\,y\,=\,\sqrt{2}x\,$. Nestas condições o perímetro do triângulo de vértices $\,A\,$, $\,B\,$ e $\,C\,$ é:

$\,6\sqrt{2}\,+\,\sqrt{3}\,$

$\,4\sqrt{3}\,+\,\sqrt{2}\,$

$\,\sqrt{2}\,+\,\sqrt{3}\,$

$\,5\sqrt{3}\,+\,\sqrt{2}\,$

n.d.a.

resposta: (E)
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(FUVEST - 2015) A equação $\phantom{X}x^2\,+\,2x\,+\,y^2\,+\,my\,=\,n\phantom{X}$, em que $\,m\,$ e $\,n\,$ são constantes, representa uma circunferência no plano cartesiano. Sabe-se que a reta $\phantom{X}y\,=\,-x\,+\,1\phantom{X}$ contém o centro da circunferência e a intersecta no ponto $\,(-3,\,4)\,$. Os valores de $\,m\,$ e $\,n\,$ são, respectivamente

-4 e 3

4 e 5

-4 e 2

-2 e 4

2 e 3

resposta: alternativa A
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